怎樣把 y = k aˣ 變成直線？

兩邊取自然對數：ln y = ln k + x ln a。以 ln y 對 x 作圖，得出斜率為 ln a、截距為 ln k 的直線。

甚麼是指數級數？

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …。把 x 換成 kx 便得 e 的 kx 次方的級數，M1 常把它與二項展開式結合。

因為 e 的 kt 次方的變率是它本身的 k 倍，這正是「增長率與本身大小成正比」的意思。

e ≈ 2.71828 是 (1 + 1/n)ⁿ 的極限，而 ln x 是以 e 為底的對數。M1 用它們處理增長及衰變模型（例如 P = P₀e^kt），以及把 y = kaˣ 化為線性關係 ln y = ln k + x ln a。

例題 1 的 P = 200e^(0.05t)。當 t ≈ 13.86，點到達虛線 P = 400，即數量增加一倍的時間。自己試試 →

e 的定義e = lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ

指數級數eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …

互為反函數ln eˣ = x, e^{ln x} = x, aˣ = e^{x ln a}

增長／衰變f(t) = P₀e^kt (k > 0), f(t) = P₀e^−kt (k > 0)

把 y = kaˣ 線性化ln y = ln k + x ln a：斜率為 ln a，截距為 ln k

把 y = kxⁿ 線性化ln y = ln k + n ln x：斜率為 n，截距為 ln k

某數量可用 P = 200e⁰·⁰⁵ᵗ 表示，其中 t 以年為單位。求數量增加一倍所需的時間。

答案： 約 13.9 年

變數 x 與 y 的關係為 y = kaˣ。以 ln y 對 x 作圖得一條直線，斜率為 0.588，縱截距為 1.10。求 k 及 a。

答案： k ≈ 3.00, a ≈ 1.80

⚠️ 截距是 ln k，不是 k在 ln y 對 x 的圖像上，截距是 ln k，斜率是 ln a。兩者都要取 e 的冪，才得出 k 和 a。

⚠️ 兩軸應取甚麼變數對 y = kaˣ，以 ln y 對 x 作圖；對 y = kxⁿ，以 ln y 對 ln x 作圖。混淆兩者會得出曲線而非直線。

溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。

(衰變)某物質按 M = 80e^(−0.12t) 衰變。求其半衰期並顯示衰變曲線。

(線性關係)y = k xⁿ。以 ln y 對 ln x 作圖得斜率 1.5 及截距 0.69。求 k 及 n。

(指數級數)把 e^(−2x) 展開至 x³ 項。