例題 1：求某項的係數
求 (1 + 2x)⁵ 的展開式中 x² 的係數。
x²項是C(5, 2)(2x)²= 10 × 4x² = 40x²
答案： 40
二項展開式（DSE M1）
對正整數 n，(a + b)ⁿ = Σ C(n, r) aⁿ⁻ʳ bʳ（r = 0 至 n）。M1 主要用它求某項的係數，並常與級數 eˣ = 1 + x + x²/2! + … 相乘。
二項展開式公式
展開式
(a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b + … + C(n, n)bⁿ特殊情況
(1 + x)ⁿ = 1 + nx + [n(n − 1)/2]x² + …指數級數
ekx = 1 + kx + (kx)²/2! + (kx)³/3! + …求和記號
Σ(axr + byr) = aΣxr + bΣyr二項展開式例題詳解
例題 2：二項展開式乘以指數級數
把 e⁻²ˣ(1 + x)⁵ 按 x 的升冪展開至 x² 項。
e⁻²ˣ = 1 − 2x + 2x² − …(1 + x)⁵ = 1 + 5x + 10x² + …- 常數項：
1；x 項：5 − 2 = 3；x²項：10 − 10 + 2 = 2
答案： 1 + 3x + 2x² + …
💡 應試陷阱與秘訣 (DSE 奪星陷阱)
⚠️ 所有得出 x² 的乘積都要計算兩個級數相乘時，
x² 項來自三個乘積：常數 × x²、x × x，以及 x² × 常數。漏掉其中一個是常見的錯誤。⚠️ (2x) 要整體平方
(2x)² = 4x²，而不是 2x²。取冪時係數也要包括在括號之內。✏️ 自我測試：互動練習
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。
(展開)把 (2 − x)⁴ 按 x 的升冪展開。
(配合指數級數)求 e^(3x)(1 − x)⁴ 的展開式中 x² 的係數。
(係數)求 (1 + x/2)⁸ 的展開式中 x³ 的係數。
常見問題
三項式的展開、求最大係數或最大項、二項式係數的性質，以及數值近似（例如估算 1.01 的 10 次方）。
它是二項分佈的基礎：二項分佈的概率正是 (p + q)ⁿ 展開式的各項。
取至題目要求的最高次冪。若展開至 x²，保留至 (kx)²/2! 一項即可。