例題 1 Example 1：十字相乘法（首項係數為 1） Cross method with a = 1
因式分解 x² − 5x + 6。Factorize x² − 5x + 6.
- 找兩個積為
6、和為−5的數：−2及−3Find two numbers with product6and sum−5:−2and−3
答案： Answer: (x − 2)(x − 3)
【因式分解：公因式、恆等式及十字相乘法】Factorization: Common Factors, Identities and the Cross Method
SketchMath 數學團隊 SketchMath Maths Team ｜ 更新 Updated 2026-10-20
因式分解的次序：① 先提取公因式，② 看看能否用恆等式（a² − b²、a² ± 2ab + b²），③ 用十字相乘法分解 ax² + bx + c，④ 有四項時用分組分解。最後要展開驗算。Factorize in this order: 1) take out the common factor, 2) look for an identity (a² − b², a² ± 2ab + b²), 3) use the cross method for ax² + bx + c, 4) group terms when there are four. Always expand to check.
因式分解方法 Factorization Methods
公因式Common factor
ax + ay = a(x + y)平方差Difference of two squares
a² − b² = (a + b)(a − b)完全平方Perfect square
a² ± 2ab + b² = (a ± b)²十字相乘法，
x² + bx + cCross method, x² + bx + cx² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)十字相乘法，
ax² + bx + cCross method, ax² + bx + c(mx + p)(nx + q)，其中 mn = a、pq = c、mq + np = b(mx + p)(nx + q) with mn = a, pq = c, mq + np = b分組分解Grouping
x³ − 2x² − 9x + 18 = (x − 2)(x² − 9)因式分解例題詳解 Worked Examples
例題 2 Example 2：十字相乘法（首項係數不是 1） Cross method with a ≠ 1
因式分解 6x² + x − 12。Factorize 6x² + x − 12.
- 試
(3x − 4)(2x + 3)：交叉項3x·3 + (−4)·2x = 9x − 8x = x✓Try(3x − 4)(2x + 3): the cross terms are3x·3 + (−4)·2x = 9x − 8x = x✓ - 驗算：
6x² + 9x − 8x − 12 = 6x² + x − 12Check:6x² + 9x − 8x − 12 = 6x² + x − 12
答案： Answer: (3x − 4)(2x + 3)
例題 3 Example 3：分組分解及恆等式 Grouping, then identities
把 x³ − 2x² − 9x + 18 完全分解。Factorize x³ − 2x² − 9x + 18 completely.
x²(x − 2) − 9(x − 2) = (x − 2)(x² − 9)x² − 9是平方差：(x − 3)(x + 3)x² − 9is a difference of squares:(x − 3)(x + 3)
答案： Answer: (x − 2)(x − 3)(x + 3)
💡 應試陷阱與秘訣 Exam Traps & Secrets
⚠️ 先提取公因式 Take out the common factor first
2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3)。漏了公因式 2，答案便不完整。2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3). Skipping the factor 2 leaves the answer incomplete.⚠️ 十字相乘法的符號錯誤 Sign errors in the cross method常數項為負，兩個數必定一正一負。把答案展開，核對中間項。If the constant term is negative, the two numbers have opposite signs. Expand your answer to confirm the middle term.
✏️ 自我測試：互動練習 Self-Test: Interactive Practice
溫習方法：點擊以下任何題目，即時在坐標網格載入並核對計算步驟。How to study: click any question to load it on the coordinate grid and check your steps.
(十字相乘法 Cross method)因式分解 4x² − 12x + 9 及 3x² + 10x − 8。Factorize 4x² − 12x + 9 and 3x² + 10x − 8.
(立方差 Difference of cubes)完全分解 a³ − 8。Factorize a³ − 8 completely.
(分組分解 Grouping)因式分解 xy + 3x − 2y − 6。Factorize xy + 3x − 2y − 6.
因式分解練習題（DSE 模擬題） Exercises: DSE-Style Practice
SketchMath 題庫內的 DSE 風格練習，選擇題及長題目均附解答。 DSE-style practice from the SketchMath question bank, with solutions for every MC and long question.
恆等式與因式分解 · 中二
86 條選擇題 86 MC · 86 條長題目 86 long questions
續多項式的因式分解 · 中三
39 條選擇題 39 MC · 25 條長題目 25 long questions
常見問題 Frequently Asked Questions
把首項係數的因數寫在左邊、常數項的因數寫在右邊，選出交叉相乘後相加等於中間項係數的一組。
Write the factors of the first coefficient on the left and the factors of the constant on the right, and pick the pairs whose cross-products add up to the middle coefficient.
每個餘下的因式在整數範圍內都不能再分解，並且展開後得回原式。
Each remaining factor cannot be factorized further over the integers, and expanding gives back the original expression.
用在解一元二次方程、化簡代數分式、因式定理及求多項式的根。
In solving quadratic equations, simplifying algebraic fractions, the factor theorem and finding roots of polynomials.